國一數學｜P53–P66｜完整解題

最大公因數・最小公倍數・餘數與進階應用

每一題都以國中一年級可學到的方法說明。個別題目的解題過程與答案預設收摺，最下方另有完整答案彙整。

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解法範圍已限制：只使用國一可理解的因數、倍數、最大公因數、最小公倍數、整除、餘數、基本四則、面積體積與簡單速率觀念。
未使用同餘符號、中國剩餘定理、聯立方程式、平方根、三角函數或高中方法。

P53｜相遇問題

01

例5｜七年級露營人數

學生超過 100 人；每 6 人、7 人、8 人分組都會多 1 人，求最少人數。

查看解題方法與答案
  1. 因為三種分法都『多 1 人』，先把那 1 人拿掉看。
  2. 剩下的人數要同時是 6、7、8 的倍數。
  3. 6、7、8 的最小公倍數 = 168。
  4. 所以最少人數 = 168 + 1 = 169，而且 169 > 100。
答案：169 人
02

41(1)｜兩線公車最快再同時發車

甲線每 8 分鐘一班，乙線每 10 分鐘一班；5:40 同時發第一班。

查看解題方法與答案
  1. 兩線要再次同時發車，要找 8 和 10 的最小公倍數。
  2. 8 和 10 的最小公倍數 = 40。
  3. 5:40 再過 40 分鐘是 6:20。
答案：6:20
03

41(2)｜第 5 次同時發車

承上題，求第 5 次同時發車時間。

查看解題方法與答案
  1. 第一次就是 5:40。
  2. 之後每隔 40 分鐘同時發車一次。
  3. 依序為 5:40、6:20、7:00、7:40、8:20。
答案：8:20
04

41(3)｜中午 12 點以前同時發車次數

承上題，統計 12:00 以前兩線同時發車幾次。

查看解題方法與答案
  1. 從 5:40 起每 40 分鐘一次。
  2. 時刻為：5:40、6:20、7:00、7:40、8:20、9:00、9:40、10:20、11:00、11:40。
  3. 下一次是 12:20，已超過中午 12 點。
答案：10 次
05

42(1)｜19:52 丙臺播新聞還是廣告

丙臺每 14 分鐘新聞後接 4 分鐘廣告，19:00 開始。

查看解題方法與答案
  1. 丙臺一個完整循環 = 14 + 4 = 18 分鐘。
  2. 19:00 到 19:52 共 52 分鐘。
  3. 52 = 18 × 2 + 16，所以是在一個循環的第 16 分鐘。
  4. 前 14 分鐘是新聞，第 15～18 分鐘是廣告，因此此時在播廣告。
答案：廣告
06

42(2)｜三臺廣告同時結束

甲循環 15 分鐘、乙循環 10 分鐘、丙循環 18 分鐘；找 23:00～24:00 內共同結束時間。

查看解題方法與答案
  1. 每次廣告結束，就是各臺一個完整循環結束。
  2. 找 15、10、18 的最小公倍數：90 分鐘。
  3. 從 19:00 起每 90 分鐘三臺同時結束一次：20:30、22:00、23:30……
  4. 23:00～24:00 之間只有 23:30。
答案：23:30

P54｜相遇問題

07

43(1)｜三人最快再同一天晨跑

甲每 5 天、乙每 3 天、丙每 2 天晨跑一次；6/6 同日晨跑。

查看解題方法與答案
  1. 再次同日晨跑，要找 5、3、2 的最小公倍數。
  2. 最小公倍數 = 30。
答案：30 天後
08

43(2)｜下一次三人同日晨跑日期

承上題，6/6 再過 30 天。

查看解題方法與答案
  1. 6 月有 30 天。
  2. 6/6 再過 30 天就是 7/6。
答案：7 月 6 日
09

43(3)｜甲乙最快又在星期四同時晨跑

6/6 是星期四；甲每 5 天、乙每 3 天晨跑。

查看解題方法與答案
  1. 甲乙同日晨跑的間隔 = 5 和 3 的最小公倍數 = 15 天。
  2. 還要再次是星期四，因此天數也必須是 7 的倍數。
  3. 15 和 7 的最小公倍數 = 105。
答案：105 天後
10

44(1)｜三人再同時回到原出發點

圓池一周 1980 公尺；甲、乙、丙每分鐘走 330、220、198 公尺。

查看解題方法與答案
  1. 先算每人走一圈所需時間。
  2. 甲：1980 ÷ 330 = 6 分鐘；乙：1980 ÷ 220 = 9 分鐘；丙：1980 ÷ 198 = 10 分鐘。
  3. 三人同時回到出發點的最短時間 = 6、9、10 的最小公倍數 = 90 分鐘。
答案：90 分鐘
11

44(2)｜90 分鐘時三人各繞幾周

承上題。

查看解題方法與答案
  1. 甲：90 ÷ 6 = 15 周。
  2. 乙：90 ÷ 9 = 10 周。
  3. 丙：90 ÷ 10 = 9 周。
答案：甲 15 周、乙 10 周、丙 9 周
12

44(3)｜第 5 次三人相遇時甲繞幾周

三人每 90 分鐘同時相遇一次。

查看解題方法與答案
  1. 不把剛出發的時刻算作相遇，第 5 次相遇是 90 × 5 = 450 分鐘後。
  2. 甲每 6 分鐘一周，所以 450 ÷ 6 = 75 周。
答案：75 周
13

45｜三姊妹改回家週期誰較合理

原本每 6、10、14 天回家；一人主張各縮短 1 天，另一人主張各延長 1 天。

查看解題方法與答案
  1. 若各縮短 1 天：變成 5、9、13 天，最小公倍數 = 585 天。
  2. 若各延長 1 天：變成 7、11、15 天，最小公倍數 = 1155 天。
  3. 585 < 1155，所以縮短 1 天會更早再次三人同時回家。
答案：張太太（縮短 1 天）較合理；585 天後再相聚

P55～P56｜課堂演練

14

46｜三人最快在星期四同時休假

甲上班 5 天休 1 天、乙 7 天休 1 天、丙 8 天休 1 天；母親節當天三人都休假。

查看解題方法與答案
  1. 甲的休假循環是 6 天，乙是 8 天，丙是 9 天。
  2. 三人再次同時休假的間隔 = 6、8、9 的最小公倍數 = 72 天。
  3. 母親節是星期日。72 天 = 10 週又 2 天，所以 72 天後是星期二。
  4. 再過另一個 72 天，共 144 天；星期二再往後 2 天就是星期四。
答案：144 天後
15

課堂演練 ex1｜公車再次同時發車

圖中甲線每 12 分鐘一班，乙線每 16 分鐘一班；5:40 同時發車。

查看解題方法與答案
  1. 找 12 和 16 的最小公倍數。
  2. 最小公倍數 = 48。
  3. 5:40 再過 48 分鐘 = 6:28。
答案：6:28
16

課堂演練 ex2｜三人第一次在出發點會合

三人繞操場一圈分別需 4、5、6 分鐘。

查看解題方法與答案
  1. 第一次同時回出發點，要找 4、5、6 的最小公倍數。
  2. 最小公倍數 = 60。
答案：60 分鐘
17

課堂演練 ex3｜環狀步道再同時回出發點

步道一圈 1800 公尺；三人每分鐘走 90、75、60 公尺。

查看解題方法與答案
  1. 一圈時間：1800÷90=20 分；1800÷75=24 分；1800÷60=30 分。
  2. 20、24、30 的最小公倍數 = 120。
答案：120 分鐘
18

課堂演練 ex4｜三人下次同時回家日期

大姊每 7 天、二姊每 5 天、妹妹每 10 天回家；平年 1/1 同時回家。

查看解題方法與答案
  1. 下一次同時回家的間隔 = 7、5、10 的最小公倍數 = 70 天。
  2. 平年 1/1 再過 70 天是 3/12。
答案：3 月 12 日
19

課堂演練 ex5(1)｜上一次一起晨跑是幾天前

小亮每 4 天、小善每 6 天晨跑；星期天兩人相遇。

查看解題方法與答案
  1. 一起晨跑的間隔 = 4、6 的最小公倍數 = 12 天。
  2. 因此上一次一起晨跑是 12 天前。
答案：12 天前
20

課堂演練 ex5(2)｜改成每 5 天會不會更快相遇

小善想把 6 天改成 5 天。

查看解題方法與答案
  1. 原本共同間隔：4、6 的最小公倍數 = 12 天。
  2. 改成 5 天後：4、5 的最小公倍數 = 20 天。
  3. 20 天反而比 12 天久，所以說法不合理。
答案：2（不合理）

P57～P60｜分割、堆積問題

21

47(1)｜哪些尺寸磁磚可完整鋪滿

地板 651×483 公分；選項為 3×3、7×7、9×9、14×14。

查看解題方法與答案
  1. 正方形磁磚邊長必須同時整除 651 和 483。
  2. 3 可同時整除兩數；7 也可同時整除兩數。
  3. 9 不能整除 651；14 也不能同時整除。
答案：3×3、7×7
22

47(2)｜50 公分內最大合適磁磚與塊數

工廠有 1～50 公分整數邊長的正方形磁磚。

查看解題方法與答案
  1. 求 651 和 483 的最大公因數。
  2. 651－483=168；483÷168 餘147；168÷147 餘21；147 可被21整除，所以最大公因數 = 21。
  3. 651÷21=31，483÷21=23。
  4. 磁磚數 = 31×23 = 713。
答案：邊長 21 公分；713 塊
23

48｜三面牆用相同最大正方形瓷磚

空間長 336、寬 294、高 210 公分，鋪三面牆且無剩餘。

查看解題方法與答案
  1. 瓷磚邊長要同時整除 336、294、210。
  2. 三數最大公因數 = 42，所以最大邊長為 42 公分。
  3. 正面：336÷42=8，210÷42=5，共 8×5=40 塊。
  4. 兩側：每面 294÷42=7、210÷42=5，共 7×5=35 塊；兩面共70塊。
  5. 總數 = 40+70 = 110 塊。
答案：邊長 42 公分；110 塊
24

49(1)｜貨櫃內最大正方體紙箱邊長

貨櫃 540×240×180 公分，要用相同正方體紙箱填滿。

查看解題方法與答案
  1. 正方體邊長要同時整除 540、240、180。
  2. 三數最大公因數 = 60。
答案：60 公分
25

49(2)｜需要多少個紙箱

承上題，正方體邊長 60 公分。

查看解題方法與答案
  1. 長方向：540÷60=9 個。
  2. 寬方向：240÷60=4 個。
  3. 高方向：180÷60=3 個。
  4. 總數 = 9×4×3 = 108。
答案：108 個
26

50｜正方形布告欄最小面積

48 公分與 80 公分兩種正方形海報，任一種都能不裁切地貼滿正方形布告欄。

查看解題方法與答案
  1. 布告欄邊長要同時是 48 和 80 的倍數。
  2. 48、80 的最小公倍數 = 240。
  3. 最小面積 = 240×240 = 57,600 平方公分。
答案：57,600 平方公分
27

51(1)｜火柴盒堆成最小正方體

火柴盒為 30×12×10 公分。

查看解題方法與答案
  1. 正方體邊長要能用 30、12、10 排整齊。
  2. 30、12、10 的最小公倍數 = 60，所以最小正方體邊長 60 公分。
  3. 所需火柴盒 = (60÷30)×(60÷12)×(60÷10) = 2×5×6 = 60。
答案：60 個
28

51(2)｜1000 個火柴盒能堆的最大正方體

承上題，正方體邊長每增加一倍，盒數按三個方向一起增加。

查看解題方法與答案
  1. 邊長 60 公分要 60 個盒子。
  2. 邊長 120 公分：需要 (120÷30)×(120÷12)×(120÷10)=4×10×12=480 個。
  3. 下一個可整齊排列的邊長 180 公分，需要 6×15×18=1620 個，超過1000個。
  4. 所以最大邊長是120公分，剩下 1000－480=520 個。
答案：邊長 120 公分；剩 520 個
29

52｜100 張 3×2 卡片可排成正方形的張數

每張卡片 3×2 公分，最多有 100 張；找所有可排成實心正方形的張數。

查看解題方法與答案
  1. 正方形邊長要讓面積可以被每張卡片的 6 平方公分整除；可行的最小邊長依序可取 6、12、18、24 公分。
  2. 邊長 6：36÷6=6 張。
  3. 邊長 12：144÷6=24 張。
  4. 邊長 18：324÷6=54 張。
  5. 邊長 24：576÷6=96 張；再下一個邊長30要150張，超過100張。
答案：6、24、54、96 張
30

53｜126×90 長方形最少剪成幾個正方形

正方形大小可以不同，且不能有剩餘。

查看解題方法與答案
  1. 先切最大的 90×90 正方形，剩下 36×90。
  2. 36×90 可切兩個 36×36，剩下 36×18。
  3. 36×18 再切兩個 18×18。
  4. 共 1+2+2 = 5 個正方形。
答案：5 個
31

課堂演練 ex1｜690×720 地板最大正方形瓷磚

不切割瓷磚，求最大邊長與總塊數。

查看解題方法與答案
  1. 690 和 720 的最大公因數 = 30。
  2. 所以瓷磚最大邊長 = 30 公分。
  3. 塊數 = (690÷30)×(720÷30)=23×24=552。
答案：邊長 30 公分；552 塊
32

課堂演練 ex2｜60×50 磁磚拼最小正方形

長邊接長邊、短邊接短邊，緊密拼成正方形。

查看解題方法與答案
  1. 正方形邊長要同時是 60 和 50 的倍數。
  2. 最小公倍數 = 300。
  3. 面積 = 300×300 = 90,000 平方公分。
答案：邊長 300 公分；面積 90,000 平方公分
33

課堂演練 ex3｜90×120×126 木塊切最大正方體

切成相同正方體且無剩餘。

查看解題方法與答案
  1. 正方體邊長要同時整除 90、120、126。
  2. 最大公因數 = 6，所以最大邊長 6 公分。
  3. 塊數 = (90÷6)×(120÷6)×(126÷6)=15×20×21=6300。
答案：邊長 6 公分；6300 塊
34

課堂演練 ex4｜正方體切成 3×4×6 小長方體

每個小長方體邊長 3、4、6 公分，剛好切完。

查看解題方法與答案
  1. 大正方體邊長要同時是 3、4、6 的倍數。
  2. 最小公倍數 = 12。
答案：12 公分

P61｜被除數與除數

35

54 觀念填充｜『除』與『除以』要分清楚

本題先整理餘數、不足與『a 除 b』的意思。

查看解題方法與答案
  1. (1) 除以 13 餘 5：離下一個 13 的倍數還差 8，所以相當於『不足 8』。
  2. (2) 若除以 13：『餘 0』或說『不足 13』，都表示剛好整除。
  3. (3) 『a 除 b』的意思是 b ÷ a；注意不是 a ÷ b。
答案：(1) 不足 8　(2) 餘 0、不足 13　(3) b ÷ a
36

54 主題｜一正整數除 113 餘 5、除 187 餘 7

這裡的『一正整數除 113』是 113 ÷ 這個正整數。

查看解題方法與答案
  1. 設這個正整數是除數。113 除以它餘 5，所以它能整除 113－5=108。
  2. 187 除以它餘 7，所以它也能整除 187－7=180。
  3. 因此它必須是 108 和 180 的公因數。兩數最大公因數 = 36。
  4. 36 的正因數為 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
  5. 除數一定要大於餘數 7，所以留下 9、12、18、36。
答案：9、12、18、36（共 4 個）
37

55(1)｜除以 3、5、7 都餘 2 的最小正整數

同一正整數除以 3、5、7，餘數都為 2。

查看解題方法與答案
  1. 把 2 拿掉後，要同時是 3、5、7 的倍數。
  2. 3、5、7 的最小公倍數 = 105。
  3. 可寫成 2、107、212、317、422……。
  4. 其中 2 本身就是正整數，而且除以 3、5、7 時餘數都為 2。
答案：2
38

55(2)｜若此數大於 100，最小值

承上題。

查看解題方法與答案
  1. 符合的數依序為 2、107、212……
  2. 大於 100 的第一個是 107。
答案：107
39

55(3)｜若此數約為 400

承上題，找最接近 400 的符合數。

查看解題方法與答案
  1. 400 附近的符合數是 317、422。
  2. 400－317=83；422－400=22。
  3. 422 比 317 更接近 400。
答案：422
40

56｜500～1000 間的數，再求除以 4 的餘數

以 5 除不足 1、以 7 除不足 3、以 11 除餘 4。

查看解題方法與答案
  1. 『以 5 除不足 1』就是餘 4；『以 7 除不足 3』也是餘 4；以 11 除本來就餘 4。
  2. 所以把這個數減 4 後，要同時是 5、7、11 的倍數。
  3. 5、7、11 的最小公倍數 = 385。
  4. 385×2+4=774，介於 500 與 1000；下一個 385×3+4=1159 已超過。
  5. 774 ÷ 4 餘 2。
答案：2

P62～P66｜進階題（仍只用國一方法）

41

進階 ex1(1)｜已知最大公因數 11、最小公倍數 231

1<a<b，求所有可能的 a、b。

查看解題方法與答案
  1. 因為最大公因數是 11，可把兩數看成 11×m、11×n，而且 m、n 互質。
  2. 231÷11=21，所以 m×n=21。
  3. 21 的互質因數配對有 1×21、3×7。
  4. 因此兩組為 (11×1,11×21) 與 (11×3,11×7)。
答案：(a,b)=(11,231) 或 (33,77)
42

進階 ex1(2)｜a×b=1350、最大公因數 15

1<a<b，求所有可能的 a、b。

查看解題方法與答案
  1. 令 a=15m、b=15n，且 m、n 互質。
  2. 15m×15n=1350，所以 m×n=1350÷225=6。
  3. 6 的互質因數配對有 1×6、2×3。
  4. 得到兩組：(15,90)、(30,45)。
答案：(a,b)=(15,90) 或 (30,45)
43

進階 ex2｜[(9,□),14]－(51,34)=25

( , ) 表示最大公因數，[ , ] 表示最小公倍數，求 □ 最小值。

查看解題方法與答案
  1. 先算 (51,34)=17。
  2. 所以 [(9,□),14]=25+17=42。
  3. (9,□) 只可能是 1、3、9 中的一個。
  4. [1,14]=14；[3,14]=42；[9,14]=126，所以 (9,□)=3。
  5. 讓 9 和 □ 的最大公因數為 3，最小的 □ 就是 3。
答案：3
44

進階 ex3｜由最大公因數判斷 8 是否為因數

(a,b)=42、(a,c)=28，且 100<a<200。

查看解題方法與答案
  1. a 必須同時是 42 和 28 的倍數。42、28 的最小公倍數 = 84。
  2. 100～200 間只有 168 符合，所以 a=168。
  3. 168 可被 8 整除，所以 8 是 a 的因數。
  4. 若 c 也可被 8 整除，a 和 c 就至少同時含有因數 8；但 (a,c)=28，而 28 不能被 8 整除，矛盾。
  5. 所以 8 不是 c 的因數。
答案：(B) 8 是 a 的因數，且 8 不是 c 的因數
45

進階 ex4｜三個餘數相同時 n 的最大值

256、599、746 分別除以同一正整數 n，三個餘數相同。

查看解題方法與答案
  1. 餘數相同時，兩數相減後一定能被 n 整除。
  2. 599－256=343；746－599=147；746－256=490。
  3. 所以 n 的最大值就是 343、147、490 的最大公因數。
  4. 343=49×7，147=49×3，490=49×10，所以最大公因數 =49。
答案：49
46

進階 ex5(1)｜同乘最小正整數後都變整數

4又7/12=55/12；5又2/15=77/15。

查看解題方法與答案
  1. 55 和 12 互質，所以乘數若是正整數，必須含有 12 的倍數條件。
  2. 77 和 15 互質，所以也必須含有 15 的倍數條件。
  3. 12 和 15 的最小公倍數 =60。
答案：60
47

進階 ex5(2)｜同乘最大負整數後都變整數

承上題。

查看解題方法與答案
  1. 可用的整數乘數是 60 的整數倍。
  2. 負整數中離 0 最近、也就是最大的，是 -60。
答案：-60
48

進階 ex5(3)｜同乘最小正分數後都變整數

找最小正分數 x，使 55/12×x 與 77/15×x 都是整數。

查看解題方法與答案
  1. 設乘完後分別得到整數 m、n，則 x=12m/55=15n/77。
  2. 所以 12×77×m = 15×55×n。
  3. 整理共同因數後得到 28m=25n。
  4. 要讓 m、n 都是最小正整數，可取 m=25、n=28。
  5. x=12×25÷55=60/11。
答案：60/11
49

進階 ex5(4)｜同乘最大負分數後都變整數

承上題。

查看解題方法與答案
  1. 所有可行分數乘數都是 60/11 的整數倍。
  2. 負分數中最大的，是最接近 0 的那一個：-60/11。
答案：-60/11
50

進階 ex6｜由三組最大公因數與最小公倍數求 a、b、c

(a,b)=3、(b,c)=5、(c,a)=7；[a,b]=1260、[b,c]=1575、[c,a]=2100。

查看解題方法與答案
  1. 國一常用關係：兩數乘積 = 最大公因數 × 最小公倍數。
  2. 所以 ab=3×1260=3780；bc=5×1575=7875；ca=7×2100=14700。
  3. 比較 ca 與 ab：c:b =14700:3780 =35:9。
  4. 35 和 9 互質，而 (b,c)=5，所以 b=9×5=45，c=35×5=175。
  5. 再由 ab=3780，a=3780÷45=84。
答案：a=84、b=45、c=175
51

進階 ex7｜短除法圖求 a－b

短除表先除 5，再連續除 m；已知 c+d=20、e+f=10。

查看解題方法與答案
  1. 由短除表可知 c+d = m(e+f)。
  2. 20 = m×10，所以 m=2。
  3. 最後一列右邊是 2，因此 f=m×2=4；e=10－4=6。
  4. c=me=2×6=12，d=mf=2×4=8。
  5. a=5c=60，b=5d=40，所以 a－b=20。
答案：20
52

進階 ex8｜4/27～4/30 哪天三間肉圓店都營業

4/1 三店都營業；好呷 4 開2休、美味 6 開2休、尚讚 3 開1休。

查看解題方法與答案
  1. 把 4/1 當第 1 天。
  2. 4/27 是從 4/1 起第 27 天，也就是經過26天。
  3. 好呷每6天一循環，26除以6餘2，在前4個營業日內。
  4. 美味每8天一循環，26除以8餘2，在前6個營業日內。
  5. 尚讚每4天一循環，26除以4餘2，在前3個營業日內。
  6. 所以 4/27 三店都營業。
答案：4 月 27 日
53

進階 ex9(1)｜何時再吃到第 1 天相同特餐

主食 5 種循環、附餐 2 種循環、飲料 3 種循環；5/20 為第 1 天。

查看解題方法與答案
  1. 整組餐點再次完全相同的間隔 = 5、2、3 的最小公倍數 =30天。
  2. 5/20 再過 30 天 = 6/19。
答案：(B) 6 月 19 日
54

進階 ex9(2)｜赤肉麵線羹＋奶油可樂餅＋玉米濃湯

依圖中各類食物固定順序循環。

查看解題方法與答案
  1. 從第1天開始往下排：主食每5天循環、附餐每2天、飲料每3天。
  2. 檢查 30 天內的排列，可在第24天同時出現：第4種主食、第2種附餐、第3種飲料。
  3. 第24天比5/20晚23天，所以日期是6/12。
答案：(D) 6 月 12 日
55

進階 ex10｜用 18×12 色紙拼小正方形後裝飾布告欄外圍

布告欄 432×108 公分；色紙先拼成最小正方形，再用正方形沿內部外圍排一圈。

查看解題方法與答案
  1. 18、12 的最小公倍數 =36，所以最小正方形邊長 36 公分。
  2. 每個 36×36 正方形需要 36×36÷(18×12)=6 張色紙。
  3. 布告欄可分成 432÷36=12 格長、108÷36=3 格寬。
  4. 外圍一圈的正方形數：上12格＋下12格＋左右中間各1格 =26格。
  5. 總色紙數 =26×6=156張。
答案：156 張
56

進階 ex11｜高速公路全程有幾座測速照相機

全長420公里；每21公里交流道、每10公里收費門架、每15公里原設相機；起終點不設相機，且交流道或門架處不設相機。

查看解題方法與答案
  1. 原本 15、30、45……405，共 420÷15－1=27 個候選位置。
  2. 同時是 10 的倍數者：30、60、90……390，共13個，要取消。
  3. 同時是 21 的倍數者：105、210、315；其中210已在上一串取消過，所以再多取消105、315兩個。
  4. 共取消 13+2=15 個。
  5. 剩下 27－15=12 個。
答案：12 座
57

進階 ex12｜16×12 紙牌依圖排成最小正方形

紙牌緊密、不重疊，依圖同方向成列排列。

查看解題方法與答案
  1. 正方形的水平邊要能排完整的16公分長，垂直邊要能排完整的12公分高。
  2. 因此邊長要同時是16和12的倍數。
  3. 16、12 的最小公倍數 =48。
答案：48 公分
58

進階 ex13(1)｜三人第一次在正三角形邊上相會

正三角形每邊30公尺，周長90公尺；甲、乙、丙從 A、B、C 逆時針出發，速率1、2、3公尺/秒。

查看解題方法與答案
  1. 甲與乙：乙一開始在甲前方30公尺，又比甲每秒快1公尺；要繞一圈追上甲，需補90－30=60公尺，所以60秒第一次相遇。
  2. 甲與丙：丙一開始在甲前方60公尺，比甲每秒快2公尺；第一次追上只需補90－60=30公尺，30÷2=15秒，之後每45秒再相遇一次，所以時間是15、60、105……
  3. 兩組第一次同時符合的時間是60秒。
  4. 60秒時甲走60公尺：A→B 30公尺，再B→C 30公尺，正好在C點。
答案：60 秒；C 點
59

進階 ex13(2)｜第 5 次三人會合

承上題。

查看解題方法與答案
  1. 三人第一次共同會合在60秒。
  2. 之後每90秒又共同會合一次，因此時間依序是60、150、240、330、420秒。
  3. 第5次是420秒。
  4. 甲在420秒走420公尺；420=90×4+60，仍是在從A出發後60公尺的位置，也就是C點。
答案：420 秒；C 點

全部答案彙整 共 59 個題目／小題

例5｜七年級露營人數
169 人
41(1)｜兩線公車最快再同時發車
6:20
41(2)｜第 5 次同時發車
8:20
41(3)｜中午 12 點以前同時發車次數
10 次
42(1)｜19:52 丙臺播新聞還是廣告
廣告
42(2)｜三臺廣告同時結束
23:30
43(1)｜三人最快再同一天晨跑
30 天後
43(2)｜下一次三人同日晨跑日期
7 月 6 日
43(3)｜甲乙最快又在星期四同時晨跑
105 天後
44(1)｜三人再同時回到原出發點
90 分鐘
44(2)｜90 分鐘時三人各繞幾周
甲 15 周、乙 10 周、丙 9 周
44(3)｜第 5 次三人相遇時甲繞幾周
75 周
45｜三姊妹改回家週期誰較合理
張太太（縮短 1 天）較合理；585 天後再相聚
46｜三人最快在星期四同時休假
144 天後
課堂演練 ex1｜公車再次同時發車
6:28
課堂演練 ex2｜三人第一次在出發點會合
60 分鐘
課堂演練 ex3｜環狀步道再同時回出發點
120 分鐘
課堂演練 ex4｜三人下次同時回家日期
3 月 12 日
課堂演練 ex5(1)｜上一次一起晨跑是幾天前
12 天前
課堂演練 ex5(2)｜改成每 5 天會不會更快相遇
2（不合理）
47(1)｜哪些尺寸磁磚可完整鋪滿
3×3、7×7
47(2)｜50 公分內最大合適磁磚與塊數
邊長 21 公分；713 塊
48｜三面牆用相同最大正方形瓷磚
邊長 42 公分；110 塊
49(1)｜貨櫃內最大正方體紙箱邊長
60 公分
49(2)｜需要多少個紙箱
108 個
50｜正方形布告欄最小面積
57,600 平方公分
51(1)｜火柴盒堆成最小正方體
60 個
51(2)｜1000 個火柴盒能堆的最大正方體
邊長 120 公分；剩 520 個
52｜100 張 3×2 卡片可排成正方形的張數
6、24、54、96 張
53｜126×90 長方形最少剪成幾個正方形
5 個
課堂演練 ex1｜690×720 地板最大正方形瓷磚
邊長 30 公分；552 塊
課堂演練 ex2｜60×50 磁磚拼最小正方形
邊長 300 公分；面積 90,000 平方公分
課堂演練 ex3｜90×120×126 木塊切最大正方體
邊長 6 公分；6300 塊
課堂演練 ex4｜正方體切成 3×4×6 小長方體
12 公分
54 觀念填充｜『除』與『除以』要分清楚
(1) 不足 8　(2) 餘 0、不足 13　(3) b ÷ a
54 主題｜一正整數除 113 餘 5、除 187 餘 7
9、12、18、36（共 4 個）
55(1)｜除以 3、5、7 都餘 2 的最小正整數
2
55(2)｜若此數大於 100，最小值
107
55(3)｜若此數約為 400
422
56｜500～1000 間的數，再求除以 4 的餘數
2
進階 ex1(1)｜已知最大公因數 11、最小公倍數 231
(a,b)=(11,231) 或 (33,77)
進階 ex1(2)｜a×b=1350、最大公因數 15
(a,b)=(15,90) 或 (30,45)
進階 ex2｜[(9,□),14]－(51,34)=25
3
進階 ex3｜由最大公因數判斷 8 是否為因數
(B) 8 是 a 的因數，且 8 不是 c 的因數
進階 ex4｜三個餘數相同時 n 的最大值
49
進階 ex5(1)｜同乘最小正整數後都變整數
60
進階 ex5(2)｜同乘最大負整數後都變整數
-60
進階 ex5(3)｜同乘最小正分數後都變整數
60/11
進階 ex5(4)｜同乘最大負分數後都變整數
-60/11
進階 ex6｜由三組最大公因數與最小公倍數求 a、b、c
a=84、b=45、c=175
進階 ex7｜短除法圖求 a－b
20
進階 ex8｜4/27～4/30 哪天三間肉圓店都營業
4 月 27 日
進階 ex9(1)｜何時再吃到第 1 天相同特餐
(B) 6 月 19 日
進階 ex9(2)｜赤肉麵線羹＋奶油可樂餅＋玉米濃湯
(D) 6 月 12 日
進階 ex10｜用 18×12 色紙拼小正方形後裝飾布告欄外圍
156 張
進階 ex11｜高速公路全程有幾座測速照相機
12 座
進階 ex12｜16×12 紙牌依圖排成最小正方形
48 公分
進階 ex13(1)｜三人第一次在正三角形邊上相會
60 秒；C 點
進階 ex13(2)｜第 5 次三人會合
420 秒；C 點

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